15. (2 балла) Решите уравнение 5 - 4 sin² x = 4 cos x

Решение:

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin² x + cos² x = 1. Отсюда sin² x = 1 - cos² x.
2. Подставим это в исходное уравнение:
3. 5 - 4(1 - cos² x) = 4 cos x
4. Раскроем скобки:
5. 5 - 4 + 4cos² x = 4 cos x
6. 4cos² x - 4 cos x + 1 = 0
7. Это квадратное уравнение относительно cos x. Сделаем замену переменной: пусть y = cos x. Тогда уравнение примет вид:
8. 4y² - 4y + 1 = 0
9. Это полный квадрат: (2y - 1)² = 0.
10. Отсюда 2y - 1 = 0, следовательно, 2y = 1, y = 1/2.
11. Возвращаемся к замене: cos x = 1/2.
12. Решениями этого уравнения являются:
13. x = ± arccos(1/2) + 2πk, где k - любое целое число.
14. x = ± π/3 + 2πk
15. Таким образом, у нас два случая:
16. 1) x = π/3 + 2πk
17. 2) x = -π/3 + 2πk (что эквивалентно x = 5π/3 + 2πk)

Ответ: x = ± π/3 + 2πk, где k ∈ Z