14. (1 балл) Найдите наибольшее значение функции y = 2x³ + 3x² + 2 на отрезке [-2; 1].

Решение:

1. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.
2. Найдем производную функции:
3. y' = (2x³ + 3x² + 2)'
4. y' = 6x² + 6x
5. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
6. 6x² + 6x = 0
7. 6x(x + 1) = 0
8. Отсюда получаем две критические точки:
9. x₁ = 0
10. x₂ = -1
11. Теперь проверим, принадлежат ли эти точки заданному отрезку [-2; 1]. Обе точки (0 и -1) принадлежат этому отрезку.
12. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
13. При x = -2:
14. y = 2(-2)³ + 3(-2)² + 2 = 2(-8) + 3(4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2
15. При x = -1:
16. y = 2(-1)³ + 3(-1)² + 2 = 2(-1) + 3(1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3
17. При x = 0:
18. y = 2(0)³ + 3(0)² + 2 = 0 + 0 + 2 = 2
19. При x = 1:
20. y = 2(1)³ + 3(1)² + 2 = 2(1) + 3(1) + 2 = 2 + 3 + 2 = 7
21. Сравниваем полученные значения: -2, 3, 2, 7.
22. Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 1] равно 7.

Ответ: 7