19. (3 балла) Решить уравнение (2x² - 3x - 2) * √(3x + 1) = 0

Решение:

1. Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
2. У нас есть два множителя: (2x² - 3x - 2) и √(3x + 1).
3. Множитель 1: 2x² - 3x - 2 = 0
4. Решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант: D = b² - 4ac.
5. a = 2, b = -3, c = -2.
6. D = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.
7. √ D = √25 = 5.
8. x₁ = (-b + √ D) / 2a = (3 + 5) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2.
9. x₂ = (-b - √ D) / 2a = (3 - 5) / (2 * 2) = -2 / 4 = -0.5.
10. Множитель 2: √(3x + 1) = 0
11. Возведем обе части в квадрат:
12. 3x + 1 = 0
13. 3x = -1
14. x₃ = -1/3.
15. Условие для корня:
16. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: 3x + 1 ≥ 0.
17. 3x ≥ -1
18. x ≥ -1/3.
19. Проверяем найденные корни на соответствие условию:
20. x₁ = 2. Проверяем: 2 ≥ -1/3. Это верно.
21. x₂ = -0.5. Проверяем: -0.5 ≥ -1/3. -1/2 ≥ -1/3. Умножим на 6: -3 ≥ -2. Это неверно. Значит, x₂ = -0.5 не является корнем уравнения.
22. x₃ = -1/3. Проверяем: -1/3 ≥ -1/3. Это верно.
23. Таким образом, решениями уравнения являются x = 2 и x = -1/3.

Ответ: 2; -1/3