12. (1 балл) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=3x³-9х на промежутке [0;2].

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, нужно:

1. Найти производную функции и точки, в которых она равна нулю или не существует.
2. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.
3. Сравнить полученные значения.

1. Найдём производную функции \( f(x) = 3x^3 - 9x \):

\[ f'(x) = (3x^3)' - (9x)' = 9x^2 - 9 \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 9x^2 - 9 = 0 \]

\( 9x^2 = 9 \)

\[ x^2 = 1 \]

\( x = \pm 1 \)

Из найденных точек \( x = 1 \) и \( x = -1 \) нам подходит только \( x=1 \), так как он лежит в промежутке \( [0; 2] \).

2. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке \( x=1 \):

• При \( x=0 \): \( f(0) = 3(0)^3 - 9(0) = 0 \)
• При \( x=1 \): \( f(1) = 3(1)^3 - 9(1) = 3 - 9 = -6 \)
• При \( x=2 \): \( f(2) = 3(2)^3 - 9(2) = 3(8) - 18 = 24 - 18 = 6 \)

3. Сравним полученные значения: 0, -6, 6.

Наибольшее значение функции равно 6, а наименьшее — -6.

Ответ: Наибольшее значение: 6, наименьшее значение: -6.