15. (3 балла) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Изображённый многогранник — это прямоугольный параллелепипед с вырезанной частью. Размеры сторон видны на рисунке:

• Длина: 8
• Ширина: 5
• Высота: 4

Общая площадь поверхности полного прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \( S = 2(ab + ac + bc) \), где \( a, b, c \) — длины сторон.

В данном случае, \( a=8, b=5, c=4 \).

\[ S_{полн} = 2(8 · 5 + 8 · 4 + 5 · 4) \]

\( S_{полн} = 2(40 + 32 + 20) \)

\[ S_{полн} = 2(92) = 184 \]

Теперь рассмотрим вырезанную часть. Это также прямоугольный параллелепипед с размерами:

• Длина: 4
• Ширина: 1
• Высота: 2

Площадь поверхности вырезанного параллелепипеда:

\[ S_{вырез} = 2(4 · 1 + 4 · 2 + 1 · 2) \]

\( S_{вырез} = 2(4 + 8 + 2) \)

\[ S_{вырез} = 2(14) = 28 \]

Однако, при вычитании одной фигуры из другой, мы не просто вычитаем площади поверхностей. Нам нужно учесть, что внутренняя поверхность вырезанного параллелепипеда становится внешней поверхностью итоговой фигуры.

Площадь поверхности итоговой фигуры = Площадь поверхности полного параллелепипеда - Площадь поверхности вырезанного параллелепипеда + Площадь новой поверхности (которая была внутри).

Площадь новой поверхности равна площади основания вырезанного параллелепипеда, умноженной на 2 (верх и низ): \( 2 · (4 · 1) = 8 \).

Пересчитаем площадь поверхности как сумму площадей видимых граней:

1. Нижнее основание (полное): \( 8 · 5 = 40 \)

2. Верхняя грань (с вырезом): \( 8 · 5 - 4 · 1 = 40 - 4 = 36 \)

3. Передняя грань: \( 8 · 4 = 32 \)

4. Задняя грань: \( 8 · 4 = 32 \)

5. Левая грань: \( 5 · 4 = 20 \)

6. Правая грань (с вырезом): \( 5 · 4 - 1 · 2 = 20 - 2 = 18 \)

7. Внутренние грани вырезанной части:

• Передняя стенка выреза: \( 4 · 2 = 8 \)
• Задняя стенка выреза: \( 4 · 2 = 8 \)
• Боковая стенка выреза (слева): \( 1 · 2 = 2 \)
• Боковая стенка выреза (справа): \( 1 · 2 = 2 \)
• Верхняя крышка выреза: \( 4 · 1 = 4 \)
• Нижняя крышка выреза: \( 4 · 1 = 4 \)

Суммируем все площади:

\[ S = 40 + 36 + 32 + 32 + 20 + 18 + 8 + 8 + 2 + 2 + 4 + 4 \]

\( S = 76 + 64 + 38 + 16 + 4 + 4 \)

\[ S = 140 + 38 + 24 \]

\( S = 178 + 24 = 202 \)

Ответ: 202