13. (3 балла) Решите неравенство (x+4)/((2+x)(5-3x)) ≥ 0

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов, найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корень числителя:

\[ x + 4 = 0 \implies x = -4 \]

2. Корни знаменателя:

\[ 2 + x = 0 \implies x = -2 \]

\( 5 - 3x = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} \]

Отметим эти точки на числовой прямой: \( -4, -2, \frac{5}{3} \). Нам нужно найти промежутки, где дробь \( \frac{x+4}{(2+x)(5-3x)} \) неотрицательна (≥ 0).

Разобьём числовую прямую на интервалы и определим знак выражения в каждом интервале.

• Интервал \( (-\infty, -4) \): Возьмём \( x = -5 \). \( \frac{-5+4}{(2-5)(5-3(-5))} = \frac{-1}{(-3)(20)} = \frac{-1}{-60} = \frac{1}{60} > 0 \)
• Интервал \( (-4, -2) \): Возьмём \( x = -3 \). \( \frac{-3+4}{(2-3)(5-3(-3))} = \frac{1}{(-1)(14)} = \frac{1}{-14} < 0 \)
• Интервал \( (-2, \frac{5}{3}) \): Возьмём \( x = 0 \). \( \frac{0+4}{(2+0)(5-0)} = \frac{4}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} > 0 \)
• Интервал \( (\frac{5}{3}, \infty) \): Возьмём \( x = 2 \). \( \frac{2+4}{(2+2)(5-3(2))} = \frac{6}{4(-1)} = \frac{6}{-4} < 0 \)

Учитывая, что \( x = -4 \) — корень числителя, он входит в решение. А \( x = -2 \) и \( x = \frac{5}{3} \) — корни знаменателя, они не входят в решение (выколотые точки).

Таким образом, решение неравенства: \( x \in (-\infty, -4] \cup (-2, \frac{5}{3}) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -4] \cup (-2, \frac{5}{3}) \)