№ 12. ABCD — равнобокая трапеция, AB = CD. Проведены диагонали AC и BD, пересекающиеся в O. Дано: ∠CBD = 31°, ∠BAC = 39°. Найдите ∠D и ∠C.

В равнобокой трапеции диагонали симметричны, поэтому углы между диагональю BD и основанием BC равны углам между AC и BC: ∠BCA = ∠CBD = 31°.

В треугольнике ABC: ∠ABC = 180° − 39° − 31° = 110°. Угол C трапеции разделён диагональю AC на ∠BCA и ∠ACD. Из равенства боковых сторон следует равенство углов при основании AD, а значит ∠A = ∠D. Угол A равен ∠BAC + ∠CAD. По симметрии ∠CAD = ∠BDC = ∠CBD = 31°, поэтому ∠A = 39° + 31° = 70° и ∠D = 70°.

Соседние углы при боковой стороне CD дополняют друг друга до 180°: ∠C = 180° − 70° = 110°.

Ответ: ∠D = 70°, ∠C = 110°.