№ 9. ABCD — равнобокая трапеция, AB = CD = 7. Проведены BH ⟂ AD и диагональ BD; на рисунке BD делит угол D пополам. AH = 3. Найдите AD.

Так как BH ⟂ AD, треугольник ABH прямоугольный. По теореме Пифагора: BH² = AB² − AH² = 7² − 3² = 40, значит BH = 2√10.

Поскольку BC ∥ AD, ∠CBD = ∠BDA. По отметке на рисунке ∠BDA = ∠BDC, следовательно, ∠CBD = ∠BDC. В треугольнике BCD равные углы лежат напротив равных сторон, поэтому BC = CD = 7.

Опустим перпендикуляр из C к AD. Получившийся прямоугольник над отрезком между H и основанием у C имеет ширину BC, поэтому расстояние от H до проекции C на AD равно BC = 7. В прямоугольном треугольнике у правой боковой стороны горизонтальная проекция равна AH = 3: боковые стороны равны, а высоты трапеции одинаковы, поэтому прямоугольные треугольники у концов равны. Значит, AD = 3 + 7 + 3 = 13.

Ответ: AD = 13.