12) ABCD — ромб, BH ⟂ AD, H лежит на AD, AH = HD. Найдите α = ∠A и β = ∠HBC.

Пусть AH = HD = x. Тогда AD = 2x. Все стороны ромба равны, значит AB = AD = 2x. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна 2x, а прилежащий к углу α катет AH равен x. Поэтому cos α = AH ÷ AB = 1/2, откуда α = 60°.

Угол B ромба смежный с A, поэтому ∠B = 120°. В треугольнике ABH угол ABH равен 180° − 90° − 60° = 30°. Отрезок BH делит угол B на ∠ABH и β, следовательно, β = 120° − 30° = 90°.

Ответ: α = 60°, β = 90°.