№ 12. ABCD — трапеция. По рисунку: BC = 3, CD = 6, ∠A = 30°, KD = 2; CK перпендикулярно основаниям. Найти CK, AD и S₍ABCD₎.

В прямоугольном треугольнике CKD гипотенуза CD = 6, а катет KD = 2. По теореме Пифагора CK = √(6² − 2²) = √32 = 4√2.

В прямоугольном треугольнике с углом A = 30° горизонтальная проекция от A до основания высоты равна CK / tan 30° = 4√6. Поэтому AD = 4√6 + BC + KD = 4√6 + 3 + 2 = 5 + 4√6.

S₍ABCD₎ = (AD + BC) · CK / 2 = (8 + 4√6) · 2√2 = 16√2 + 16√3.

Ответ: CK = 4√2, AD = 5 + 4√6, S₍ABCD₎ = 16√2 + 16√3.