№ 12. Дано: BC = 3, CD = 6, KD = 2, CK ⟂ AD, ∠A = 30°. Найти CK, AK, AD и площадь S_ABCD.

В прямоугольном треугольнике CKD по теореме Пифагора CK² = CD² − KD² = 6² − 2² = 32, следовательно, CK = 4√2.

В прямоугольном треугольнике AKC угол A равен 30°. Поэтому tan 30° = CK / AK, откуда AK = CK / tan 30° = 4√6.

Нижнее основание AD = AK + KD = 4√6 + 2.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S_ABCD = (BC + AD) · CK / 2 = (3 + 4√6 + 2) · 4√2 / 2 = 10√2 + 8√3.

Ответ: CK = 4√2; AK = 4√6; AD = 4√6 + 2; S_ABCD = 10√2 + 8√3.