12. Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.

Обозначим через \(M,N,P,Q,R,S\) середины отрезков \(AB,CD,AC,BD,AD,BC\) соответственно.

Пусть положение точек задаётся радиус-векторами \(\vec A,\vec B,\vec C,\vec D\). Тогда:

\[\vec M=\frac{\vec A+\vec B}{2},\quad \vec N=\frac{\vec C+\vec D}{2};\]

\[\vec P=\frac{\vec A+\vec C}{2},\quad \vec Q=\frac{\vec B+\vec D}{2};\]

\[\vec R=\frac{\vec A+\vec D}{2},\quad \vec S=\frac{\vec B+\vec C}{2}.\]

У всех трёх отрезков одна и та же середина:

\[\frac{\vec M+\vec N}{2}=\frac{\vec P+\vec Q}{2}=\frac{\vec R+\vec S}{2}=\frac{\vec A+\vec B+\vec C+\vec D}{4}.\]

Следовательно, прямые \(MN\), \(PQ\) и \(RS\) проходят через одну точку — общий центр четырёх точек.