12. Найти площадь ромба ABCD. По рисунку: вписанная окружность касается стороны BC в точке E, OE = 8, BE = x, EC = 4x.

Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен стороне, поэтому OE = 8 — радиус окружности. Для двух вершин B и C касательные от каждой вершины равны соответствующим отрезкам на сторонах; поскольку углы B и C ромба supplementary, произведение отрезков касательных на BC равно квадрату радиуса: \(BE\cdot EC=OE^2\).

Подставим данные: \(x\cdot4x=8^2\), значит, \(4x^2=64\), откуда \(x=4\). Сторона ромба \(BC=BE+EC=5x=20\).

Площадь описанного около окружности четырёхугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: \(S=r\cdot\frac{P}{2}=8\cdot(2\cdot20)=320\).

Ответ: 320.