12. Периметр равнобедренного треугольника равен 98, а основание 40. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Периметр равнобедренного треугольника \( P = 2a + b \), где \( a \) — боковая сторона, \( b \) — основание.

По условию \( P = 98 \) и \( b = 40 \).

\( 98 = 2a + 40 \)

\( 2a = 98 - 40 = 58 \)

\( a = \frac{58}{2} = 29 \) см — длина боковой стороны.

Чтобы найти площадь, нам нужна высота. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, делит его пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора: \( h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2 \).

\( h^2 + (\frac{40}{2})^2 = 29^2 \)

\( h^2 + 20^2 = 29^2 \)

\( h^2 + 400 = 841 \)

\( h^2 = 841 - 400 = 441 \)

\( h = \text{sqrt}(441) = 21 \) см.

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \times b \times h \).

\( S = \frac{1}{2} \times 40 \times 21 = 20 \times 21 = 420 \text{ см}^2 \).

Ответ: 420 см².