12. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Решение:

Обозначим:

• \( P(\text{уничтожение при 1-м выстреле}) = P_1 = 0.4 \).
• \( P(\text{уничтожение при последующих выстрелах}) = P_{\text{след}} = 0.6 \).
• \( P(\text{промах при 1-м выстреле}) = 1 - P_1 = 1 - 0.4 = 0.6 \).
• \( P(\text{промах при последующих выстрелах}) = 1 - P_{\text{след}} = 1 - 0.6 = 0.4 \).

Нам нужно найти наименьшее количество выстрелов \( n \), при котором вероятность уничтожения цели будет не менее 0,98.

Проще всего найти вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена после \( n \) выстрелов, и вычесть её из 1.

Вероятность того, что цель не будет уничтожена после 1 выстрела: \( P(\text{не уничтожена после 1}) = 0.6 \).

Вероятность того, что цель не будет уничтожена после 2 выстрелов (первый промах И второй промах): \( P(\text{не уничтожена после 2}) = P(\text{промах при 1-м}) \cdot P(\text{промах при 2-м}) = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24 \).

Вероятность того, что цель не будет уничтожена после 3 выстрелов:

\[ P(\text{не уничтожена после 3}) = P(\text{промах при 1-м}) \cdot P(\text{промах при 2-м}) \cdot P(\text{промах при 3-м}) \]

\[ P(\text{не уничтожена после 3}) = 0.6 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.096 \]

Вероятность того, что цель не будет уничтожена после 4 выстрелов:

\[ P(\text{не уничтожена после 4}) = 0.6 \cdot 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.0384 \]

Вероятность того, что цель будет уничтожена после 4 выстрелов:

\[ P(\text{уничтожена после 4}) = 1 - P(\text{не уничтожена после 4}) = 1 - 0.0384 = 0.9616 \]

Так как \( 0.9616 \ge 0.98 \) — ложь, нужно больше выстрелов.

Проверим 5 выстрелов:

Вероятность того, что цель не будет уничтожена после 5 выстрелов:

\[ P(\text{не уничтожена после 5}) = 0.6 \cdot (0.4)^4 = 0.6 \cdot 0.0256 = 0.01536 \]

Вероятность того, что цель будет уничтожена после 5 выстрелов:

\[ P(\text{уничтожена после 5}) = 1 - P(\text{не уничтожена после 5}) = 1 - 0.01536 = 0.98464 \]

Так как \( 0.98464 \ge 0.98 \) — истина, значит, 5 выстрелов достаточно.

Ответ: 5.