13. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение:

Обозначим:

• \( P(В) \) — вероятность выигрыша команды в одной игре. \( P(В) = 0.4 \).
• \( P(П) \) — вероятность проигрыша команды в одной игре. \( P(П) = 0.4 \).
• \( P(Н) \) — вероятность ничьей в одной игре.

Так как сумма вероятностей всех исходов в одной игре равна 1:

\[ P(В) + P(Н) + P(П) = 1 \]

\[ 0.4 + P(Н) + 0.4 = 1 \]

\[ 0.8 + P(Н) = 1 \]

\[ P(Н) = 1 - 0.8 = 0.2 \]

Команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Возможные комбинации очков и исходов:

1. Выигрыш и Выигрыш (В, В): 3 + 3 = 6 очков. Это больше или равно 4.
2. Выигрыш и Ничья (В, Н) или (Н, В): 3 + 1 = 4 очка. Это больше или равно 4.
3. Выигрыш и Проигрыш (В, П) или (П, В): 3 + 0 = 3 очка. Меньше 4.
4. Ничья и Ничья (Н, Н): 1 + 1 = 2 очка. Меньше 4.
5. Ничья и Проигрыш (Н, П) или (П, Н): 1 + 0 = 1 очко. Меньше 4.
6. Проигрыш и Проигрыш (П, П): 0 + 0 = 0 очков. Меньше 4.

Таким образом, команде удастся выйти в следующий круг, если произойдут следующие исходы:

• Две победы (В, В).
• Победа в одной игре и ничья в другой ((В, Н) или (Н, В)).

Рассчитаем вероятности этих исходов:

1. Вероятность двух побед (В, В): \( P(В) \cdot P(В) = 0.4 \cdot 0.4 = 0.16 \).
2. Вероятность победы и ничьей: \( P(В \text{ и } Н) = P(В) \cdot P(Н) = 0.4 \cdot 0.2 = 0.08 \).
3. Вероятность ничьей и победы: \( P(Н \text{ и } В) = P(Н) \cdot P(В) = 0.2 \cdot 0.4 = 0.08 \).

Вероятность того, что команда наберет хотя бы 4 очка, равна сумме вероятностей этих благоприятных исходов:

\[ P(\text{набрать }
e 4 \text{ очка}) = P(\text{В, В}) + P(\text{В, Н}) + P(\text{Н, В}) \]

\[ P(\text{набрать }
e 4 \text{ очка}) = 0.16 + 0.08 + 0.08 = 0.32 \]

Ответ: 0,32.