14. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Обозначим:

• \( O \) — отличная погода.
• \( Х \) — хорошая погода.
• \( P(\text{сегодня отличная}) = 1 \) (по условию, сегодня 3 июля, погода отличная).
• \( P(\text{завтра такая же, как сегодня}) = 0.8 \).
• \( P(\text{завтра другая, чем сегодня}) = 1 - 0.8 = 0.2 \).

Нас интересует погода 6 июля. Проследим, как погода меняется по дням, начиная с 3 июля:

3 июля: Отличная погода (О).

4 июля:

• Погода будет такой же, как 3 июля (отличная), с вероятностью 0,8. \( P(\text{4 июля - О}) = 0.8 \).
• Погода будет другой (хорошей), с вероятностью 0,2. \( P(\text{4 июля - Х}) = 0.2 \).

5 июля:

Чтобы 5 июля была отличная погода, возможны два сценария:

• 4 июля была отличная, и 5 июля тоже отличная (такая же, как 4-е): \( P(4\text{ - О}) \times P(\text{5-е такое же, как 4-е}) = 0.8 \times 0.8 = 0.64 \).
• 4 июля была хорошая, и 5 июля тоже хорошая (но нас интересует отличная, значит этот вариант не подходит для получения отличной погоды).

Чтобы 5 июля была хорошая погода:

• 4 июля была отличная, и 5 июля другая (хорошая): \( P(4\text{ - О}) \times P(\text{5-е другое, чем 4-е}) = 0.8 \times 0.2 = 0.16 \).
• 4 июля была хорошая, и 5 июля такая же (хорошая): \( P(4\text{ - Х}) \times P(\text{5-е такое же, как 4-е}) = 0.2 \times 0.8 = 0.16 \).

Итак, для 5 июля:

• Вероятность отличной погоды: \( P(\text{5 июля - О}) = 0.64 \).
• Вероятность хорошей погоды: \( P(\text{5 июля - Х}) = 0.16 + 0.16 = 0.32 \).

(Проверка: \( 0.64 + 0.32 = 0.96 \). Ошибка в расчетах. Давайте пересчитаем.

Давайте найдем вероятность того, что 6 июля будет отличная погода, через вероятность противоположного события: что 6 июля будет ХОРОШАЯ погода.

3 июля: О

4 июля:

• О с вероятностью 0.8
• Х с вероятностью 0.2

5 июля:

• О с вероятностью \( P(\text{4-О}) \times 0.8 + P(\text{4-Х}) \times 0.2 = 0.8 \times 0.8 + 0.2 \times 0.2 = 0.64 + 0.04 = 0.68 \) (Отличная, если 4-е О и 5-е такое же ИЛИ 4-е Х и 5-е другое).
• Х с вероятностью \( P(\text{4-О}) \times 0.2 + P(\text{4-Х}) \times 0.8 = 0.8 \times 0.2 + 0.2 \times 0.8 = 0.16 + 0.16 = 0.32 \) (Хорошая, если 4-е О и 5-е другое ИЛИ 4-е Х и 5-е такое же).

Проверка: \( 0.68 + 0.32 = 1 \). Верно.

6 июля:

Чтобы 6 июля была отличная погода, должны произойти следующие комбинации:

• 5 июля - О, 6 июля - О (такая же): \( P(\text{5-О}) \times 0.8 = 0.68 \times 0.8 = 0.544 \).
• 5 июля - Х, 6 июля - О (другая): \( P(\text{5-Х}) \times 0.2 = 0.32 \times 0.2 = 0.064 \).

Вероятность того, что 6 июля будет отличная погода:

\[ P(\text{6 июля - О}) = 0.544 + 0.064 = 0.608 \]

Ответ: 0,608.