12. Равнобочная трапеция с основаниями 15 см и 25 см и высотой 12 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения и площадь боковой поверхности.

Решение:

Дано: Равнобочная трапеция. Основания \(a = 15\) см, \(b = 25\) см. Высота \(h = 12\) см.

Найти: Объем тела вращения \(V\) и площадь боковой поверхности \(S_{бок}\).

1. Тело вращения состоит из цилиндра и двух конусов, соединённых основаниями.

2. Большее основание \(b = 25\) см.
3. Высота цилиндра равна меньшему основанию трапеции \(h_{ц} = a = 15\) см.
4. Радиус цилиндра и оснований конусов равен высоте трапеции \(R = h = 12\) см.
5. Высоты конусов найдем, исходя из того, что разность оснований трапеции делится пополам: \(h_{к} = \frac{b - a}{2} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см.
6. Объем тела вращения:
7. Объем цилиндра \(V_{ц} = \pi R^2 h_{ц} = \pi (12^2) (15) = \pi \cdot 144 \cdot 15 = 2160\pi\) см³.
8. Объем одного конуса \(V_{к} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{к} = \frac{1}{3} \pi (12^2) (5) = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5 = 240\pi\) см³.
9. Объем второго конуса такой же.
10. Общий объем \(V = V_{ц} + 2 V_{к} = 2160\pi + 2 \cdot 240\pi = 2160\pi + 480\pi = 2640\pi\) см³.
11. Площадь боковой поверхности:
12. Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{ц} = 2 \pi R h_{ц} = 2 \pi (12) (15) = 360\pi\) см².
13. Площадь боковой поверхности конуса \(S_{к} = \pi R l\), где \(l\) — образующая конуса.
14. Найдем образующую конуса по теореме Пифагора: \(l = \sqrt{R^2 + h_{к}^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\) см.
15. Площадь боковой поверхности одного конуса \(S_{к} = \pi \cdot 12 \cdot 13 = 156\pi\) см².
16. Площадь боковой поверхности второго конуса такая же.
17. Общая площадь боковой поверхности \(S_{бок} = S_{ц} + 2 S_{к} = 360\pi + 2 \cdot 156\pi = 360\pi + 312\pi = 672\pi\) см².

Ответ: Объем тела вращения \(V = 2640\pi\) см³, площадь боковой поверхности \(S_{бок} = 672\pi\) см².