13. Решите систему: { 2²ˣ⁻ʸ = 32 (11³ˣ⁺²ʸ = 121²

Решение:

Решим систему уравнений:

\(\begin{cases} 2^{2x-y} = 32 \\ 11^{3x+2y} = 121^2 \end{cases}\)

1. Преобразуем первое уравнение:
2. \(2^{2x-y} = 2^5\).
3. Из равенства степеней с одинаковым основанием следует: \(2x - y = 5\).
4. Преобразуем второе уравнение:
5. \(11^{3x+2y} = (11^2)^2 = 11^4\).
6. Из равенства степеней с одинаковым основанием следует: \(3x + 2y = 4\).
7. Получили систему линейных уравнений:
8. \(\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases}\)
9. Умножим первое уравнение на 2, чтобы получить противоположные коэффициенты при \(y\):
10. \(\begin{cases} 4x - 2y = 10 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases}\)
11. Сложим уравнения:
12. \((4x - 2y) + (3x + 2y) = 10 + 4\).
13. \(7x = 14\).
14. \(x = \frac{14}{7} = 2\).
15. Подставим \(x = 2\) в первое уравнение системы \(2x - y = 5\):
16. \(2(2) - y = 5\).
17. \(4 - y = 5\).
18. \(-y = 5 - 4\).
19. \(-y = 1\).
20. \(y = -1\).
21. Проверим найденные значения во втором уравнении системы \(3x + 2y = 4\):
22. \(3(2) + 2(-1) = 6 - 2 = 4\). Верно.

Ответ: \(x = 2, y = -1\).