7. Найдите значения х, при которых значение производной функции f(x) равно 0, если f(x) = 3x⁴ - 4x³ - 12x².

Решение:

Дана функция \(f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2\).

1. Найдем производную функции \(f'(x)\):
2. \(f'(x) = (3x^4 - 4x^3 - 12x^2)' = 3(x^4)' - 4(x^3)' - 12(x^2)'\).
3. \(f'(x) = 3(4x^3) - 4(3x^2) - 12(2x)\).
4. \(f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x\).
5. Приравняем производную к нулю: \(12x^3 - 12x^2 - 24x = 0\).
6. Вынесем общий множитель \(12x\): \(12x(x^2 - x - 2) = 0\).
7. Это уравнение распадается на два: \(12x = 0\) или \(x^2 - x - 2 = 0\).
8. Из \(12x = 0\) получаем \(x = 0\).
9. Решим квадратное уравнение \(x^2 - x - 2 = 0\). Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
10. Корни: \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1\).
11. Таким образом, значения \(x\), при которых производная равна нулю, это \(-1, 0, 2\).

Ответ: \(x = -1, x = 0, x = 2\).