4. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а боковое ребро - 12 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

Дано: Правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания \(a = 8\) см. Боковое ребро \(l = 12\) см.

Найти: Высоту пирамиды \(h\).

1. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Диагональ квадрата \(d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) см.
2. Радиус описанной около основания окружности \(R\) равен половине диагонали: \(R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\) см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \(h\), радиусом описанной окружности \(R\) и боковым ребром \(l\). По теореме Пифагора: \(h^2 + R^2 = l^2\).
4. \(h^2 + (4\sqrt{2})^2 = 12^2\).
5. \(h^2 + 16 \cdot 2 = 144\).
6. \(h^2 + 32 = 144\).
7. \(h^2 = 144 - 32 = 112\).
8. \(h = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}\) см.

Ответ: \(4\sqrt{7}\) см.