9. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z₁ = -2 + i, z₂ = 6 - 5i

Решение:

Даны комплексные числа \(z_1 = -2 + i\) и \(z_2 = 6 - 5i\).

1. Сумма:
2. \(z_1 + z_2 = (-2 + i) + (6 - 5i) = (-2 + 6) + (1 - 5)i = 4 - 4i\).
3. Разность:
4. \(z_1 - z_2 = (-2 + i) - (6 - 5i) = -2 + i - 6 + 5i = (-2 - 6) + (1 + 5)i = -8 + 6i\).
5. Произведение:
6. \(z_1 \cdot z_2 = (-2 + i)(6 - 5i) = -2(6) - 2(-5i) + i(6) + i(-5i) = -12 + 10i + 6i - 5i^2\).
7. Так как \(i^2 = -1\), то \(-5i^2 = -5(-1) = 5\).
8. \(z_1 \cdot z_2 = -12 + 16i + 5 = -7 + 16i\).
9. Частное:
10. \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{-2 + i}{6 - 5i}\).
11. Умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряжённое знаменателю \(6 + 5i\):
12. \(\frac{(-2 + i)(6 + 5i)}{(6 - 5i)(6 + 5i)} = \frac{-12 - 10i + 6i + 5i^2}{6^2 - (5i)^2} = \frac{-12 - 4i - 5}{36 - 25i^2} = \frac{-17 - 4i}{36 - 25(-1)} = \frac{-17 - 4i}{36 + 25} = \frac{-17 - 4i}{61}\).
13. \(\frac{z_1}{z_2} = -\frac{17}{61} - \frac{4}{61}i\).

Ответ: Сумма: \(4 - 4i\), Разность: \(-8 + 6i\), Произведение: \(-7 + 16i\), Частное: \(-\frac{17}{61} - \frac{4}{61}i\).