№ 12. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 1/2. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому диагональ равна 13. Если угол между стороной и диагональю равен \(\alpha\), то стороны прямоугольника равны \(13\sin\alpha=6.5\) и \(13\cos\alpha=\frac{13\sqrt{3}}{2}\), поскольку \(\sin\alpha=\frac12\). Следовательно, площадь равна

\(S=6.5\cdot\frac{13\sqrt{3}}{2}=\frac{169\sqrt{3}}{4}.\)

Ответ: \(\frac{169\sqrt{3}}{4}\).