№ 5. В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 10, sin∠A = 1/2. Найдите площадь треугольника ABC.

Площадь можно найти по двум сторонам и синусу угла между ними. Сначала найдём возможные значения \(\sin\angle B\). По теореме косинусов для стороны AC, используя \(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos B\), и закон синусов удобнее получить AC: \(\frac{BC}{\sin A}=20\), поэтому \(\sin C=\frac{AB}{20}=\frac{3}{10}\). Следовательно, \(\cos C=\frac{\sqrt{91}}{10}\), а по формуле \(B=180^\circ-A-C\) получаем \(\sin B=\sin(A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\frac{\sqrt{91}}{20}+\frac{3\sqrt{3}}{20}\).

Тогда площадь:

\(S=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=30\cdot\frac{\sqrt{91}+3\sqrt{3}}{20}=\frac{3}{2}(\sqrt{91}+3\sqrt{3}).\)

Ответ: \(\frac{3}{2}(\sqrt{91}+3\sqrt{3})\).