12. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC=84 и BC=BM. Найдите AH.

Пошаговое решение:

• В равнобедренном треугольнике BCM, BC=BM, углы при основании равны: ∠BCM = ∠BMC.
• ∠BMC является внешним углом для треугольника ABM.
• Следовательно, ∠BMC = ∠BAC + ∠ABM.
• Так как ∠BCM = ∠BMC, то ∠BCM = ∠BAC + ∠ABM.
• Из условия ∠BCM = ∠BMC.
• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + (∠ABM + ∠MBC) + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + ∠BMC + ∠BCA = 180°.
• Поскольку ∠BMC = ∠BCM = ∠BCA, то ∠BAC + ∠ABM + ∠BCA + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + 2∠BCA = 180°.
• Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный.
• Рассмотрим треугольник ABM. BM - медиана, значит AM = MC = AC/2 = 84/2 = 42.
• В равнобедренном треугольнике BCM (BC=BM), медиана BH является высотой и биссектрисой. Следовательно, H является серединой MC.
• MH = HC = MC/2 = 42/2 = 21.
• AH = AM + MH = 42 + 21 = 63.
• Проверка: В треугольнике BHC, BC=BM. Угол C = 78. Тогда угол BMC = 78. Угол BCM = 78. Это противоречие, так как в треугольнике BCM сумма углов должна быть 180.
• Давайте пересмотрим: Если BC = BM, то треугольник BCM равнобедренный. Угол BCM = Угол BMC.
• Угол BMC - внешний угол треугольника ABM. Значит, ∠BMC = ∠BAM + ∠ABM.
• Следовательно, ∠BCM = ∠BAM + ∠ABM.
• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + ∠MBC + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + ∠BMC + ∠BCA = 180°.
• Подставляем ∠BMC = ∠BAM + ∠ABM:
• ∠BAC + ∠ABM + (∠BAC + ∠ABM) + ∠BCA = 180°.
• 2∠BAC + 2∠ABM + ∠BCA = 180°.
• Но мы знаем, что ∠BCA = ∠BCM = ∠BMC = ∠BAC + ∠ABM.
• Значит, ∠BCA = ∠BAC + ∠ABM.
• Подставляем в сумму углов треугольника ABC:
• ∠BAC + (∠ABC) + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + (∠ABM + ∠MBC) + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + ∠BMC + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + (∠BAC + ∠ABM) + ∠BCA = 180°.
• 2∠BAC + 2∠ABM + ∠BCA = 180°.
• Из ∠BCA = ∠BAC + ∠ABM, выразим ∠BAC + ∠ABM = ∠BCA.
• Подставим в уравнение: 2(∠BCA) + ∠BCA = 180°.
• 3∠BCA = 180°.
• ∠BCA = 60°.
• Итак, угол C = 60°.
• В треугольнике BHC, угол C = 60°, угол BHC = 90°.
• Угол HBC = 180° - 90° - 60° = 30°.
• В треугольнике BCM, BC=BM, угол C = 60°. Это означает, что треугольник BCM равносторонний, если бы он был равнобедренным с углом при основании 60. Но он равнобедренный с углом при вершине B.
• В равнобедренном треугольнике BCM (BC=BM), углы при основании MC равны: ∠BCM = ∠BMC.
• Пусть ∠BCM = ∠BMC = x.
• Угол MBC = 180° - 2x.
• BM - медиана, значит AM = MC = AC/2 = 84/2 = 42.
• BH - высота, значит треугольник BHC прямоугольный.
• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + MBC + BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + (180° - 2x) + x = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + 180° - x = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM = x.
• Но мы знаем, что x = ∠BCM = ∠BCA.
• Значит, ∠BAC + ∠ABM = ∠BCA.
• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + (∠ABM + ∠MBC) + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM + 180° - 2x + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠ABM - 2x + ∠BCA = 0.
• Заменяем ∠BAC + ∠ABM на x:
• x - 2x + ∠BCA = 0.
• -x + ∠BCA = 0.
• x = ∠BCA.
• Это не даёт решения. Попробуем другую теорему.
• В равнобедренном треугольнике BCM (BC=BM), BH является высотой к основанию MC. Это означает, что H является серединой MC.
• MC = AC/2 = 84/2 = 42.
• MH = HC = MC/2 = 42/2 = 21.
• BM - медиана, значит AM = MC = 42.
• AH = AM + MH = 42 + 21 = 63.

Ответ: 63