12) Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями y = 2x², y = 0, x = 0, x = -1

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле: \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \).

В данном случае \( f(x) = 2x^2 \), \( a = -1 \), \( b = 0 \).

Так как \( 2x^2 \ge 0 \) для всех \( x \), то \( |2x^2| = 2x^2 \).

1. \( S = \int_{-1}^{0} 2x^2 dx \)
2. Найдём первообразную для \( 2x^2 \): \( \frac{2x^3}{3} \).
3. Вычислим определённый интеграл: \( S = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{-1}^{0} \)
4. \( S = \frac{2(0)^3}{3} - \frac{2(-1)^3}{3} \)
5. \( S = 0 - \frac{2(-1)}{3} \)
6. \( S = 0 - (-\frac{2}{3}) \)
7. \( S = \frac{2}{3} \)

Ответ: 3) 2/3