13. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, принадлежащей стороне AD. Найдите площадь параллелограмма, если BM = 8, BC = 4√5.

Пусть сторона BC равна d, а высота параллелограмма — h. Поскольку M лежит на AD и равноудалена от сторон угла B, расстояние от M до AB равно расстоянию от M до BC. Аналогично, из того, что M лежит на биссектрисе угла C, расстояния от M до BC и CD равны. Следовательно, расстояния от M до AB и CD равны; это возможно при расположении M на середине AD, а значит, AB = BC/2 = 2√5.

Рассмотрим треугольник ABM: BM — биссектриса угла B, а AM = AD/2 = BC/2 = AB. По теореме о биссектрисе получаем, что AB = AM, и из BM = 8 следует, что горизонтальная проекция AB на AD равна 2/√5. Тогда высота параллелограмма равна √( (2√5)² − (2/√5)² ) = 4√(6/5).

Площадь: S = BC · h = 4√5 · 4√(6/5) = 16√6.

Ответ: 16√6.