22. Окружность радиуса 2 вписана в ромб ABCD и касается стороны BC в точке M. BM = 4. Найдите площадь ромба.

Радиус окружности, вписанной в угол B, связан с касательной BM равенством BM = r cot(B/2). Поэтому cot(B/2) = 4/2 = 2.

Тогда sin B = 2 cot(B/2)/(1 + cot²(B/2)) = 4/5. Для угла C = 180° − B касательная от вершины C до точки касания имеет длину MC = r tan(B/2) = 1. Следовательно, сторона ромба BC = BM + MC = 5.

Площадь ромба равна a² sin B = 25 · 4/5 = 20.

Ответ: 20.