Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
- Данные: Сторона основания $$a = 5$$. Угол между боковым ребром и плоскостью основания $$\alpha = 45^\circ$$.
- Находим радиус описанной окружности: В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат. Радиус описанной окружности (половина диагонали квадрата) $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$.
- Находим высоту пирамиды: В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($$h$$), радиусом описанной окружности ($$R$$) и боковым ребром ($$l$$), угол при основании равен 45°. Так как угол равен 45°, то треугольник равнобедренный, и $$h = R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$.
- Находим апофему: Апофема ($$k$$) — это высота боковой грани. Она находится в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($$h$$), радиусом, проведенным к середине стороны основания (который равен $$\frac{a}{2} = \frac{5}{2}$$), и апофемой. Используем теорему Пифагора: $$k^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 = \frac{25 \times 2}{4} + \frac{25}{4} = \frac{50}{4} + \frac{25}{4} = \frac{75}{4}$$.
$$k = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$. - Площадь боковой поверхности: $$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P \times k$$, где $$P$$ — периметр основания. $$P = 4a = 4 \times 5 = 20$$.
$$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 20 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = 10 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$$. - Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \times h$$. Площадь основания $$S_{\text{осн}} = a^2 = 5^2 = 25$$.
$$V = \frac{1}{3} \times 25 \times \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{125\sqrt{2}}{6}$$.
Ответ: Площадь боковой поверхности $$25\sqrt{3}$$, объем $$\frac{125\sqrt{2}}{6}$$
