6. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см². Найдите площадь полной поверхности призмы и объем.

Решение:

1. Определение ребер: Поскольку все ребра равны, то основанием призмы является равносторонний треугольник, и высота призмы равна стороне этого треугольника. Обозначим длину ребра как $$a$$.
2. Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту. Периметр равностороннего треугольника $$P = 3a$$. Высота призмы $$h = a$$. Следовательно, площадь боковой поверхности $$S_{\text{бок}} = P \times h = 3a \times a = 3a^2$$.
3. Находим длину ребра: Из условия $$S_{\text{бок}} = 27$$ см², имеем $$3a^2 = 27$$, откуда $$a^2 = 9$$, и $$a = 3$$ см.
4. Площадь основания: Площадь равностороннего треугольника находится по формуле $$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. Подставляем $$a=3$$: $$S_{\text{осн}} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$$ см².
5. Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: $$S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 27 + 2 \times \frac{9\sqrt{3}}{4} = 27 + \frac{9\sqrt{3}}{2}$$ см².
6. Объем призмы: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: $$V = S_{\text{осн}} \times h = \frac{9\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{27\sqrt{3}}{4}$$ см³.

Ответ: Площадь полной поверхности $$27 + \frac{9\sqrt{3}}{2}$$ см², объем $$\frac{27\sqrt{3}}{4}$$ см³