14. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее апофема равна 4 см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30°.

Решение:

1. Визуализация: Правильная треугольная пирамида имеет равносторонний треугольник в основании. Апофема ($$k=4$$ см) — это высота боковой грани. Угол между апофемой и высотой пирамиды ($$h$$) равен 30°.
2. Находим высоту пирамиды: В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($$h$$), апофемой ($$k$$) и радиусом вписанной окружности ($$r$$), угол между апофемой и высотой равен 30°. В этом треугольнике апофема является гипотенузой. Используем косинус: $$h = k \times \cos(30^\circ) = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ см.
3. Находим радиус вписанной окружности: $$r = k \times \sin(30^\circ) = 4 \times \frac{1}{2} = 2$$ см.
4. Находим сторону основания: Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной ($$a$$) формулой $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$. Отсюда $$a = 2\sqrt{3} \times r = 2\sqrt{3} \times 2 = 4\sqrt{3}$$ см.
5. Площадь основания: Площадь равностороннего треугольника $$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(16 \times 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$$ см².
6. Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности $$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P \times k$$, где $$P$$ — периметр основания. $$P = 3a = 3 \times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$ см.
   $$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times 4 = 6\sqrt{3} \times 4 = 24\sqrt{3}$$ см².
7. Площадь полной поверхности: $$S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 12\sqrt{3} + 24\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$$ см².

Ответ: Площадь полной поверхности $$36\sqrt{3}$$ см²