13. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Перпендикулярны ли векторы: а) AD и D₁C₁; б) BD и CC₁; в) A₁C₁ и AD; г) DB и D₁C₁; д) BB₁ и AC?

Question

Вопрос:

13. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Перпендикулярны ли векторы: а) AD и D₁C₁; б) BD и CC₁; в) A₁C₁ и AD; г) DB и D₁C₁; д) BB₁ и AC?

Accepted Answer

Рассмотрим куб с координатами \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(D(0;1;0)\); верхние вершины имеют третью координату 1. Перпендикулярность проверяем по скалярному произведению.

а) \(\overrightarrow{AD}=(0;1;0)\), \(\overrightarrow{D_1C_1}=(1;0;0)\); произведение равно 0 — перпендикулярны.

б) \(\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{CC_1}=(0;0;1)\); произведение равно 0 — перпендикулярны.

в) \(\overrightarrow{A_1C_1}=(1;1;0)\), \(\overrightarrow{AD}=(0;1;0)\); произведение равно 1 — не перпендикулярны.

г) \(\overrightarrow{DB}=(1;-1;0)\), \(\overrightarrow{D_1C_1}=(1;0;0)\); произведение равно 1 — не перпендикулярны.

д) \(\overrightarrow{BB_1}=(0;0;1)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;1;0)\); произведение равно 0 — перпендикулярны.

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) да.