13. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Перпендикулярны ли векторы: а) [первый вектор обрезан] и D₁C₁; б) BD и CC₁; в) A₁C₁ и AD; г) DB и D₁C₁; д) BB₁ и [второй вектор обрезан]?

Обозначим ребро куба единичной длиной и зададим координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0); верхние вершины имеют третью координату 1.

а) Первый вектор обрезан, поэтому проверить перпендикулярность к D₁C₁ невозможно. Нужна полная запись этого вектора.

б) BD = (−1; 1; 0), CC₁ = (0; 0; 1). Их скалярное произведение равно 0, поэтому векторы перпендикулярны.

в) A₁C₁ = (1; 1; 0), AD = (0; 1; 0). Скалярное произведение равно 1, поэтому векторы не перпендикулярны.

г) DB = (1; −1; 0), D₁C₁ = (1; −1; 0). Скалярное произведение равно 2, поэтому векторы не перпендикулярны.

д) Второй вектор обрезан, поэтому проверить перпендикулярность невозможно. Нужна полная запись этого вектора.

Ответ: б) да; в) нет; г) нет. Для пунктов а) и д) не хватает обрезанных векторов.