№ 13. Найдите экстремумы функции: f(x) = x³ - 6x² + 9x -3.

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её первую производную, приравнять её к нулю и найти критические точки.

Найдём производную функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3 \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 3) \]

\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]

Разделим уравнение на 3:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \). \( \sqrt{D} = 2 \).

\[ x_1 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Критические точки: \( x=1 \) и \( x=3 \).

Теперь определим, являются ли эти точки точками максимума или минимума, исследуя знак производной на интервалах:

• При \( x < 1 \) (например, \( x=0 \)): \( f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( 1 < x < 3 \) (например, \( x=2 \)): \( f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 3 \) (например, \( x=4 \)): \( f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

Таким образом:

• В точке \( x=1 \) производная меняет знак с \(+\) на \(-\), следовательно, это точка локального максимума.
• В точке \( x=3 \) производная меняет знак с \(-\) на \(+\), следовательно, это точка локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

Максимум:

\[ f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 3 = 1 - 6 + 9 - 3 = 1 \]

Минимум:

\[ f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 3 = 27 - 6(9) + 27 - 3 = 27 - 54 + 27 - 3 = -3 \]

Ответ: Точка максимума: \( (1; 1) \). Точка минимума: \( (3; -3) \).