№ 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y= x² + 2x + 1, y = 0, x=-3, x=2.

Решение:

Фигура ограничена параболой \( y = x^2 + 2x + 1 \), осью абсцисс \( y = 0 \) и вертикальными прямыми \( x = -3 \) и \( x = 2 \).

Заметим, что \( y = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \). Это парабола с вершиной в точке \( (-1; 0) \), ветви направлены вверх. Так как \( (x+1)^2 \ge 0 \) для всех \(x\), функция \(y\) неотрицательна на всей области определения.

Площадь фигуры вычисляется как определённый интеграл от функции \(y\) по \(x\) от \(-3\) до \(2\):

\[ S = \int_{-3}^{2} (x^2 + 2x + 1) dx \]

Сначала найдём первообразную:

\[ F(x) = \int (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + x = \frac{x^3}{3} + x^2 + x \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( S = F(b) - F(a) \):

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{-3}^{2} \]

\[ S = \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 + 2 \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 + (-3) \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} + 4 + 2 \right) - \left( \frac{-27}{3} + 9 - 3 \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} + 6 \right) - \left( -9 + 6 \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} + \frac{18}{3} \right) - (-3) \]

\[ S = \frac{26}{3} + 3 \]

\[ S = \frac{26}{3} + \frac{9}{3} \]

\[ S = \frac{35}{3} \]

Ответ: \( \frac{35}{3} \).