№ 14. Решите уравнение: 2sin²x + 3cosx - 3 = 0.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \). Подставим это в уравнение:

\[ 2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0 \]

\[ 2 - 2\cos^2 x + 3\cos x - 3 = 0 \]

\[ -2\cos^2 x + 3\cos x - 1 = 0 \]

Умножим уравнение на -1 для удобства:

\[ 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0 \]

Сделаем замену \( y = \cos x \). Получим квадратное уравнение:

\[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \]

Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

\[ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Вернёмся к замене \( y = \cos x \):

1. \( \cos x = 1 \)
2. \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Решим каждое уравнение:

1. \( \cos x = 1 \) \(\Rightarrow\) \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. \( \cos x = \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow\) \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = 2\pi n \) и \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).