№ 8. Найдите интеграл: ∫(5x + 1/x - 4) dx.

Решение:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов, а константу можно выносить за знак интеграла:

\[ \int\left(5x + \frac{1}{x} - 4\right) dx = \int 5x dx + \int \frac{1}{x} dx - \int 4 dx \]

Вычислим каждый интеграл:

1. \( \int 5x dx = 5 \int x dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = 5 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 \)
2. \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_2 \)
3. \( \int 4 dx = 4x + C_3 \)

Соберём все части вместе:

\[ \frac{5}{2}x^2 + \ln|x| - 4x + C \]

(где \(C = C_1 + C_2 - C_3\) — произвольная постоянная).

Ответ: \( \frac{5}{2}x^2 + \ln|x| - 4x + C \).