№ 6. Решите уравнение: sin²x + 2 sin x = 3.

Решение:

Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 2y = 3 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ y^2 + 2y - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \(y\) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

\[ y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \sin x \):

1. \( \sin x = 1 \)
2. \( \sin x = -3 \)

Уравнение \( \sin x = -3 \) не имеет решений, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \).

Решим уравнение \( \sin x = 1 \):

\[ x = \(\frac{\pi}{2}\) + 2\(\pi\) n \), где \( n \in \mathbb{Z} \) (целые числа).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).