13. Острый угол равнобедренной трапеции равен углу между её диагоналями, отмеченному на рисунке. Найдите периметр этой трапеции, если её основания равны 4 и 6.

В равнобедренной трапеции с основаниями 4 и 6 горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен \(1\). Обозначим высоту через \(h\), а острый угол при большем основании через \(\theta\). Тогда \(\tan\theta=h\).

Горизонтальные проекции диагоналей равны 5, а их вертикальные проекции равны \(h\) и противоположны по направлению. Поэтому острый угол между диагоналями равен \(2\arctan(h/5)\). По условию он равен \(\theta\). Значит, \(h=\tan(2\arctan(h/5))=\frac{10h}{25-h^2}\), откуда \(h^2=15\).

Боковая сторона равна \(\sqrt{h^2+1}=4\). Периметр: \(4+6+4+4=18\).

Ответ: 18.