19. Середина основания трапеции равноудалена от вершин другого основания. Обязательно ли данная трапеция равнобедренная? (рис.)

Да. Пусть середина одного основания — точка \(M\), а вершины другого основания — \(C\) и \(D\). По условию \(MC=MD\). Треугольник \(CMD\) равнобедренный, поэтому перпендикуляр из \(M\) к прямой \(CD\) проходит через середину \(CD\). Поскольку основания параллельны, проекция середины первого основания на прямую второго является его серединой. Значит, ось симметрии проходит через середины обоих оснований, а боковые стороны равны.

Ответ: да, трапеция обязательно равнобедренная.