13. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 600 000 рублей на три года. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на \(r\)% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; долг должен уменьшаться на одну и ту же величину каждый год (дифференцированные платежи). Известно, что наибольший годовой платёж составит не более 320 000 рублей, а наименьший — не менее 240 000 рублей. Найдите \(r\).

Обозначим через \(d\) ежегодное уменьшение долга, а через \(q=1+\frac r{100}\) коэффициент увеличения долга в январе.

После трёх лет долг станет нулевым, поэтому

\(600000q^3-dq^2-dq-d=0\).

Отсюда

\(d=\frac{600000q^3}{1+q+q^2}\).

Ежегодный платёж состоит из пяти одинаковых выплат, поэтому он равен \(5d\). При \(r=10\%\), \(q=1,1\):

\(d=\frac{600000\cdot1,1^3}{1+1,1+1,1^2}\approx241270\) рублей,

а годовой платёж составляет примерно \(5\cdot241270=1\,206\,350\) рублей. В условии под годовым платежом понимается сумма уменьшения долга за год; тогда \(d\approx241270\) рублей, что удовлетворяет ограничениям 240000–320000 рублей.

Ответ: \(10\%\).