13. В ящике четыре красных и шесть синих фломастеров. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение:

Всего фломастеров в ящике: \( 4 \) красных + \( 6 \) синих = \( 10 \).

Событие: первый раз синий фломастер появится третьим по счету. Это означает, что первые два фломастера были красными, а третий — синим.

Найдем вероятность каждого шага:

1. Первый фломастер — красный: Вероятность вытащить красный фломастер из 10: \( P(\text{1-й красный}) = \frac{4}{10} \).
2. Второй фломастер — красный (при условии, что первый был красный): После того, как вытащили один красный фломастер, осталось 3 красных и 6 синих, всего 9 фломастеров. Вероятность вытащить еще один красный: \( P(\text{2-й красный | 1-й красный}) = \frac{3}{9} \).
3. Третий фломастер — синий (при условии, что первые два были красные): После того, как вытащили два красных фломастера, осталось 2 красных и 6 синих, всего 8 фломастеров. Вероятность вытащить синий: \( P(\text{3-й синий | 1-й и 2-й красные}) = \frac{6}{8} \).

Вероятность того, что последовательность будет Красный, Красный, Синий, равна произведению вероятностей каждого шага:

\( P(\text{К, К, С}) = P(\text{1-й красный}) \times P(\text{2-й красный | 1-й красный}) \times P(\text{3-й синий | 1-й и 2-й красные}) \)

\( P(\text{К, К, С}) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 1 \times 3}{5 \times 3 \times 4} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \)

Ответ: \(\frac{1}{10}\).