137. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла, пересекает стороны угла в точках M и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

Пусть A — вершина угла, а прямая MN перпендикулярна его биссектрисе. Обозначим биссектрису через AX и точку её пересечения с MN через X.

Треугольники AMX и ANX прямоугольные: ∠AXM = ∠AXN = 90°. По определению биссектрисы ∠MAX = ∠XAN, а AX — общая сторона. Следовательно, треугольники AMX и ANX равны по стороне и двум прилежащим углам.

Значит, AM = AN, поэтому △AMN равнобедренный.