14. Решите задачу. Один кран наполняет бассейн на 6 часов быстрее другого. Два крана, работая вместе, наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов может наполнить бассейн каждый кран, работая отдельно.

Решение:

Пусть \( x \) часов — время, за которое первый кран наполняет бассейн. Тогда второй кран наполняет бассейн за \( x + 6 \) часов.

Производительность первого крана: \( \frac{1}{x} \) (бассейна в час).

Производительность второго крана: \( \frac{1}{x+6} \) (бассейна в час).

Когда краны работают вместе, их производительности складываются. Они наполняют бассейн за 4 часа, значит, их совместная производительность равна \( \frac{1}{4} \) (бассейна в час).

Составим уравнение:

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4} $$

Приведем дроби к общему знаменателю \( 4x(x+6) \):

$$ \frac{4(x+6)}{4x(x+6)} + \frac{4x}{4x(x+6)} = \frac{x(x+6)}{4x(x+6)} $$

Умножим обе части уравнения на \( 4x(x+6) \), предполагая, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -6 \):

$$ 4(x+6) + 4x = x(x+6) $$

Раскроем скобки:

$$ 4x + 24 + 4x = x^2 + 6x $$

$$ 8x + 24 = x^2 + 6x $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ x^2 + 6x - 8x - 24 = 0 $$

$$ x^2 - 2x - 24 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 $$

Найдем корни:

$$ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$

$$ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $$

Так как время не может быть отрицательным, \( x = 6 \) часов.

Первый кран наполняет бассейн за 6 часов.

Второй кран наполняет бассейн за \( x + 6 = 6 + 6 = 12 \) часов.

Ответ: Первый кран — за 6 часов, второй кран — за 12 часов.