15.7. Скоротіть дріб: 9) \(\frac{m^3+1}{m^2-m+1}\)

Рішення:

Щоб скоротити дріб, потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники.

1. Чисельник \( m^3 + 1 \) — це сума кубів, яка розкладається за формулою \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \). У нашому випадку \( a = m \), \( b = 1 \), тому \( m^3 + 1 = (m+1)(m^2 - m + 1) \).
2. Знаменник: \( m^2 - m + 1 \).
3. Отже, дріб має вигляд: \( \frac{(m+1)(m^2 - m + 1)}{m^2 - m + 1} \).
4. Скорочуємо \( (m^2 - m + 1) \) і отримуємо: \( m+1 \).

Відповідь: \( m+1 \).