15 Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ=6, АС=54. Найдите АК.

Дано:

• \[ \text{Окружность} \]

• \[ \text{Точка } A \text{ вне окружности} \]

• \[ \text{Прямая } AK \text{ — касательная} \]

• \[ \text{Прямая } ABC \text{ — секущая} \]

• \[ AB = 6 \text{ см} \]

• \[ AC = 54 \text{ см} \]

Решение:

Согласно теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению отрезков секущей.

То есть:

• \[ AK^2 = AB \cdot AC \]

Подставим известные значения:

• \[ AK^2 = 6 \text{ см} \cdot 54 \text{ см} \]

• \[ AK^2 = 324 \text{ см}^2 \]

• \[ AK = \sqrt{324} \text{ см} \]

• \[ AK = 18 \text{ см} \]

Ответ: 18 см