16 В параллелограмме MNKP МТ- биссектриса угла М. Известно, что NT=5см, ТК=3см. Найти периметр данного параллелограмма.

Дано:

• \[ \text{Параллелограмм } MNKP \]

• \[ MT \text{ — биссектриса } \angle M \]

• \[ NT = 5 \text{ см} \]

• \[ TK = 3 \text{ см} \]

Решение:

1. Свойства биссектрисы и параллелограмма:

• Так как MT — биссектриса угла M, то \( \angle NMT = \angle TMK \).
• В параллелограмме противоположные стороны равны: \( MN = KP \) и \( NK = MP \).
• Также, в параллелограмме противоположные стороны параллельны: \( NK \parallel MP \) и \( MN \parallel KP \).
• Рассмотрим секущую MT, пересекающую параллельные стороны NK и MP. Тогда \( \angle NMT = \angle MTK \) как накрест лежащие углы.

2. Нахождение сторон:

• Из равенства углов \( \angle NMT = \angle TMK \) и \( \angle NMT = \angle MTK \) следует, что \( \angle TMK = \angle MTK \).
• Треугольник MTK является равнобедренным, так как углы при основании TK равны. Следовательно, \( MT = MK \).
• Поскольку \( MK \) — это сторона параллелограмма, то \( MK = NK = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} = 8 \text{ см} \).
• Значит, \( MT = MK = 8 \text{ см} \).
• Теперь найдем сторону MN. В параллелограмме биссектриса делит сторону на два отрезка. Если биссектриса пересекает сторону, то один из отрезков равен другой стороне. В данном случае, биссектриса MT делит сторону NK. Мы уже нашли, что \( MK = 8 \text{ см} \), а \( NK = 8 \text{ см} \).
• Однако, в условии задачи дано, что NT=5см и ТК=3см. Это означает, что точка Т находится на стороне NK.
• Из того, что MT — биссектриса угла M, и \( riangle MTK \) равнобедренный, следует, что \( MK = TK = 3 \text{ см} \).
• Но \( MK \) — это сторона параллелограмма, равная \( NK \).
• Это противоречие. Давайте перечитаем условие. Возможно, точка T находится на стороне KP?
• Перечитав условие, мы видим, что \( NT=5 \text{ см}, TK=3 \text{ см} \). Эти отрезки относятся к стороне NK, так как N и K — вершины параллелограмма.
• Если MT — биссектриса угла M, то \( riangle MTK \) — равнобедренный, то есть \( MK = TK = 3 \text{ см} \).
• Поскольку MNKP — параллелограмм, то \( NK = MP \) и \( MN = KP \).
• Так как \( MK \) — это сторона параллелограмма, то \( MN \) = \( KP \) = \( MK \) = 3 см.
• Сторона NK = NT + TK = 5 см + 3 см = 8 см.
• Следовательно, \( MP = NK = 8 \text{ см} \).
• Таким образом, стороны параллелограмма равны 3 см и 8 см.

3. Нахождение периметра:

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин двух смежных сторон.

• \[ P = 2 \cdot (MN + NK) \]

• \[ P = 2 \cdot (3 \text{ см} + 8 \text{ см}) \]

• \[ P = 2 \cdot 11 \text{ см} \]

• \[ P = 22 \text{ см} \]

Ответ: 22 см