№15. Дано: ABCK — равнобедренная трапеция; ΔCDK — равнобедренный треугольник. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

По рисунку равные стороны треугольника — CD и CK, поэтому ∠CDK = ∠DKC. В равнобедренной трапеции равны углы при основании AK: ∠BAK = ∠AKC. Так как A, D, K лежат на одной прямой, ∠AKC = ∠DKC.

Следовательно, ∠BAK = ∠CDK. Это соответственные углы при прямых AB и CD и секущей AK, значит, AB ∥ CD.

Кроме того, BC ∥ AK, а AD лежит на AK, поэтому BC ∥ AD. У четырёхугольника ABCD обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Доказано.