15. Катер прошёл по течении реки 80 км, повернув обратно, он прошёл ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть собственная скорость катера будет $$v$$ км/ч. Скорость течения реки равна 5 км/ч.

• Скорость катера по течению: $$v + 5$$ км/ч.
• Скорость катера против течения: $$v - 5$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению:

\[ t_1 = \frac{80}{v+5} \text{ часов} \]

Время, затраченное на путь против течения:

\[ t_2 = \frac{60}{v-5} \text{ часов} \]

Общее время в пути равно 10 часов:

\[ t_1 + t_2 = 10 \]

\[ \frac{80}{v+5} + \frac{60}{v-5} = 10 \]

Умножим обе части уравнения на $$(v+5)(v-5)$$, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 80(v-5) + 60(v+5) = 10(v+5)(v-5) \]

\[ 80v - 400 + 60v + 300 = 10(v^2 - 25) \]

\[ 140v - 100 = 10v^2 - 250 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 10v^2 - 140v - 250 + 100 = 0 \]

\[ 10v^2 - 140v - 150 = 0 \]

Разделим все на 10:

\[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно -15, а сумма равна 14. Это числа 15 и -1.

Значит, $$v_1 = 15$$ и $$v_2 = -1$$.

Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Проверим $$v = 15$$:

• По течению: $$15+5 = 20$$ км/ч. Время: $$80/20 = 4$$ часа.
• Против течения: $$15-5 = 10$$ км/ч. Время: $$60/10 = 6$$ часов.
• Общее время: $$4 + 6 = 10$$ часов.

Все сходится.

Ответ: Собственная скорость катера равна 15 км/ч.