9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, sinA = \(\frac{\sqrt{5}}{5}\). Найдите BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

У нас есть:

• Угол A
• Катет AC (прилежащий к углу A)
• Катет BC (противолежащий углу A)
• Гипотенуза AB
• sinA = \(\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\)
  
  

  Мы знаем, что $$AC = 4$$ и $$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$$.

  
  

  Из определения синуса имеем:

  
  

  \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

  
  

  Также мы можем использовать тангенс угла A, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

  
  

  \[ \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} \]

  
  

  Чтобы найти $$\operatorname{tg} A$$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

  
  

  \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

  
  

  Сначала найдем $$\cos A$$. Мы знаем, что $$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$$, поэтому:

  
  

  \[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \]

  
  

  \[ \cos A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

  
  

  Теперь найдем $$\operatorname{tg} A$$:

  
  

  \[ \operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \]

  
  

  Теперь используем формулу тангенса для нахождения BC:

  
  

  \[ \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} \]

  
  

  \[ \frac{1}{2} = \frac{BC}{4} \]

  
  

  Решаем относительно BC:

  
  

  \[ BC = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \]

  Ответ: $$BC = 2$$